ফিবোনাচি ক্রম হল অন্যতম জনপ্রিয় এবং আশ্চর্যজক গাণিতিক আবিষ্কার, যা সারা বিশ্ব জুড়ে বিজ্ঞানীদের, ইঞ্জিনিয়ারদের, শিল্পীদের, এবং গবেষকদের অনুপ্রাণিত করে চলেছে। এটি গণিতের সাথে প্রাকৃতিক, সাংস্কৃতিক, এবং প্রযুক্তিগত প্রক্রিয়ার মধ্যে গভীর সংযোগ প্রদর্শন করে। এই সার্বজনিন ধারণা একটি প্রাণবন্ত উদাহরণ রূপে কাজ করে যে কীভাবে বিমূর্ত গাণিতিক ধারনাগুলি মানুষের কার্যকলাপের মধ্যে ব্যবহারিক প্রয়োগ খুঁজে নেয়, যা সারা বিশ্বের সকল ঘটনার মধ্যে যোগসূত্র থাকা ধরণাকে নিশ্চয়তা প্রদান করে। ফিবোনাচি ক্রম সক্রিয়ভাবে ব্যবহৃত হয়ে থাকে, যার মধ্যে অর্থনৈতিক বাজারের ট্রেডিং-ও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। MetaTrader 4 (MT4) প্ল্যাটফর্মে, বিদ্যমান গ্রাফিক টুলগুলির মধ্যে, আপনি ফিবোনাচি রিট্রেসমেন্ট-এর বিকল্প পেয়ে যাবেন। এটি ব্যবহার করে, একজন ট্রেডার সম্ভাব্য সহায়তা এবং প্রতিরোধের স্তরগুলি চিহ্নিত করতে পারেন, এবং মূল্যের সম্ভাব্য বিপরীতমূখী পয়েন্ট গণনা করতে পারেন। তাহলে, এই গাণিতিক প্রতিভা কে, এবং তাই এই ক্রম কি কাজ করে থাকে?
পিসার লিওনার্দো, ফীবোনাচি নামেও খ্যাত, পিসায় (একটি শহর-রাজ্য, বর্তমানে ইতালির অংশ) 1170 সালে জন্মগ্রহণ করেছিলেন।লিওনার্দো নিজে কখনও নিজেকে "ফিবোনাচি" নামে সম্বোধন করেননি। সর্বপ্রথম "লিওনার্দো ফিবোনাচি"-র উল্লেখ করা হয় পেরিজোলো দা পিসার রেকর্ডে, যা হল 1506 সালের, পবিত্র রোমান সাম্রাজ্যের একটি নোটারি। ফিবোনাচি শব্দটি দুটি শব্দের সংকোচনে তৈরি হয়, "ফিলিয়াস বোনাচি," যা "বুক অফ অ্যাবাকাস"-এর কভারে প্রকাশ পায়, এবং খুব সম্ভবত এটির অর্থ হল "বোনাচির পুত্র"। অন্য একটি মতবাদ অনুযায়ী, "বোনাচি" ডাকনাম রূপে ব্যাখ্যা করা হয় যার অর্থ হল "ভাগ্যবান"। এই গানিতবিদ সাধারণত নিজের স্বাক্ষর "বোনাচি" নামে করতেন, যদিও মাঝে মাঝে তিনি "লিওনার্দো বিগোলো" ("বিগোলো" শব্দটির টাস্কান উপভষায় অর্থ হল "পরিভ্রমণকারী" সেইসাথে "অলস") নামটিও ব্যবহার করতেন।
একটি ব্যবসায়ীক পরিবারে বেড়ে ওঠা, লিওনার্দোর কম বয়সেই বানিজ্য এবং গণিতের ব্যবহারিক দিক সম্মন্ধে পরিচয় হয়েছিল, বিশেষভাবে তার বৈজ্ঞানিক আগ্রহ এবং অর্জনগুলিকে আকার দেওয়ার ক্ষেত্রে। তার পিতা ব্যবসার উদ্দেশ্যের প্রায়শই আলজেরিয়া যাতায়াত করতেন, যেখানে লিওনার্দো আরব শিক্ষকদের থেকে গণিতের শিক্ষা পায়। পরবর্তীকালে, ফিবোনাচি ইজিপ্ট, সিরিয়া এবং বাইজেন্টিয়াম যান, যেখান থেকে তিনি প্রাচীন এবং ভারতীয় গণিতবিদদের আরবীয় অনুবাদ নিজের জন্য সংগ্রহ করেন। তার জ্ঞানের উপর ভিত্তি করে, ফিবোনাচি বহু গাণিতিক গ্রন্থ লিখেছেন, তাদের মধ্যে উল্লেখযোগ্যগুলি হল, "বুক অফ অ্যাবাকাস" (ল্যাটিন: লিবার আবাচি), যা সর্বপ্রথম 1202 প্রকাশিত হয়, সাথে একটি সংশোধিত সংষ্করণ 1228 সালে প্রকাশিত হয়।
এই বইটিতে দশমিক পাটিগণিতের প্রকাশ ও প্রচার এবং ইন্দো-আরবি সংখ্যার বিস্তারের ভিত্তি স্থাপন করে, যার মধ্যে রয়েছে শূন্য সংখ্যার ধারণা। এই কাজের মধ্যে, ফিবোনাচি এই সংখ্যাগুলি সম্ভাবনার অন্বেষণ করেন, যা পূর্বে সঠিকভাবে বোঝা হয়নি, যা ইউরোপীয় গণিতে আমূল পরিবর্তন এনেছিল। গুরুত্বপূর্ণভাবে, "বুক অফ অ্যাবাকাস" সরল ভাষায় লেখা হয়েছিল, যা এটি প্রাচীন এবং ইসলামী প্রোটোটাইপগুলির থেকে অনেক স্পষ্ট ছিল।এটি খ্যাতি এবং জনপ্রিয়তা দেখে, বাস্তব সমস্যাগুলির উল্লেখ করা হয়, বিশেষভাবে বনিকদের লক্ষ করে এটি করা হয়।
ফিবোনাচির গণিতের প্রতি তার সবথেকে বিখ্যাত অবদান আসে সেই সংখ্যা থেকে যার মধ্যে তার নাম রয়েছে। খরগোশের রিপ্রোডাকশনের সমস্যা, "বুক অফ অ্যাবাকাস"-এ বর্ণিত রয়েছে, যা জনপ্রিয় ক্রমের গঠনের ক্ষেত্রে সর্বোত্তম উদাহরণ রূপে কাজ করে। এই সমস্যাটি খরগোশদের জনসংখ্যা বৃদ্ধির নীতিটি ব্যাখ্যা করার জন্য প্রস্তাব করা হয়েছিল। এটি যেভাবে বলা হয়েছিল: ধরুন এখানে সদ্য জন্মগ্রহণ করা এক জোড়া খরগোশ রয়েছে, একটি পুরুষ এবং একটি মহিলা। খরগোশগুলি এক মাস বয়স হওয়ার সাথে সাথে প্রজনন করতে শুরু করে দেয়। প্রতি মাসের শেষে, প্রতিটি প্রাপ্তবয়স্ক জোড়া খরগোশের নতুন একটি জোড়ার জন্ম দেয় (একটি পুরষ এবং একটি মহিলা)। ধরুন খরগোশগুলি মারা যাচ্ছে না এবং এই নিয়ম অনুযায়ী প্রজনন অব্যাহত রাখছে, তাহলে এক বছর প্রর কতো জোড়া খরগোশ এখানে থাকবে?
এই সমস্যা সমাধানের সারমর্ম রয়েছে এই বিষয়ের মধ্যে যে প্রত্যেক পরবর্তী মাসে খরগোশের জোড়ার সংখ্যা গত মাসের জোড়ার সংখ্যা সমষ্টি এবং তার আগের আসের জন্মগ্রহণ করা জোড়ার যোগফলের সমান। এটির কারণ হল প্রতিটি প্রাপ্তবয়স্ক জোড়া মোট সংখ্যায় আরও একটি জোড়ার যুক্ত করছে। সেইজন্য, ক্রমটি দেখতে এইরকম হবে: (0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, এবং এইভাবে চলতে থাকবে, যেখানে প্রতিটি সংখ্যা তার আগের দুটি সংখ্যার যোগফল হবে। এই ক্রমটিই ফিবোনাচি ক্রম নামে খ্যাত।
ফিবোনাচি ক্রম শুধুমাত্র জনসংখ্যা বৃদ্ধির গাণিতিক মডেলকেই প্রদর্শন করে না বরং গাণিতিক এবং প্রাকৃতিক নিয়মের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কও প্রদর্শন করে, যা এটিকে গোল্ডেন অনুপাতের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সংযুক্ত করে।
গোল্ডেন অনুপাতের উৎপত্তি ইতিহাসের গভীরে রয়েছে। কিছু গবেষনা পরামর্শ দেয় যে প্রাচীন মিশরীরা এই বিষয়ে জানতেন, বিশেষভাবে পিরামিডগুলি তৈরি করার ক্ষেত্রে, যদিও প্রমাণ বিভিন্ন উপায়ে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। সর্বপ্রথম গোল্ডেন অনুপাতের পদ্ধতিগত প্রকাশ সম্মন্ধে যা জানা যায় সেটা হল এটির প্রাচীন গ্রীক গনিতবিদ ইউক্লিড-এর সাথে সম্মন্ধ রয়েছে, যিনি তার কাজ "এলিমেন্টস"-এ একটি সেগমেন্ট-এর "চরম এবং গড় অনুপাত"-এ বিভাজন সম্মন্ধে বর্ণনা করেছেন। ইউক্লিড এই অনুপাতের গাণিতিক ভিত্তির স্থাপনা করেছিলেন কিন্তু বর্তমান সময়ে এটি যে নান্দনিক মান ধারন করছে সেই সম্মন্ধে কোনো বর্ণনা দেননি। প্রাচীন গ্রিস-এ এই অনুপাত সম্মন্ধে পরবর্তী ব্যবহারিক উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে জনপ্রিয় এথেন্সের পার্থেনন (447–438 BC), যা স্থাপনের জন্য ইকটিনাস এবং ক্যালিক্রেটসকে দায়ী করা হয়েছে।
রেনেসাঁ-এর সময়কালে, গোল্ডেন অনুপাতে আগ্রহ বেড়ে যায় যখন লিওনার্দো দা ভিঞ্চি এবং লে করবিসিয়ারের মতো শিল্পী এবং স্থপতিরা সাদৃশ্য এবং পরিপূর্ণতার জন্য নিজেদের কাজের মধ্যে সক্রিয়ভাবে এটির ব্যবহার করতে শুরু করেন। লিওনার্দো দা ভিঞ্চি গোল্ডেন অনুপাতের অন্বেষণ করেন এবং তার জনপ্রিয় কাজগুলিতে প্রয়োগ করেন, যার মধ্যে রয়েছে "মোনা লিসা" এবং "ভিট্রুভিয়ান ম্যান"। তিনি গোল্ডেন অনুপাতের শিল্প এবং স্থপতির প্রতি গভীর তাৎপর্যের জন্য এটিকে "ঐশ্বরিক অনুপাত" রূপে বর্ণনা করেছেন।
তাহলে, এই "ঐশ্বরিক অনুপাত" কি? এটি হল একটি অযৌক্তিক সংখ্যা, যাকে গ্রীক অক্ষক φ (ফি) দ্বার লেখা হয়ে থাকে, আনুমানিকভাবে 1.618033988749895-এর সমান। এই অনুপাত এসেছে যখন একটি লাইন (বা অন্য বস্তু) এমনভাবে বিভক্ত হয় যে সম্পূর্ণ বস্তুর সাথে বড় অংশটির অনুপাত বড় অংশটির সাথে ছোট অংশটির অনুপাতের সমান।
ফিবোনাচি ক্রম এবং গোল্ডেন অনুপাতের মধ্যে সম্পর্কের মধ্যে প্রকাশ পায় যে এই ক্রমের যতো গভীরে অগ্রসর হবেন, তখন দুটি ক্রমের ফিবোনাচি সংখ্যা গোল্ডেন অনুপাতের ততোই কাছাকাছি আসবে। উদাহরণস্বরূপ, 21 সংখ্যাকে ক্রমে তার আগের সংখ্যা, 13 দিয়ে ভাগ করলে, অনুপাত হয় আনুমানিক 1.615। যখনই ক্রমে সংখ্যা বৃদ্ধি পাবে, এই অনুপাত আরও কাছাকাছি এসে 1.618 হবে, বা "ঐশ্বরিক অনুপাত" হবে।
এই সম্পর্ক শুধুমাত্র গণিতেই নয় বরং প্রকৃতি, শিল্প, স্থাপত্য, এবং অন্যান্য ক্ষেত্রেও প্রতিফলিত হয়, যেখানে গোল্ডেন অনুপাতের কাছাকাছি অনুপাতকে বিশেষভাবে সমন্বয়পূর্ণ এবং নান্দনিকভাবে আনন্দদায়ক মনে হয়। এটির অনন্য বৈশিষ্ট্য এবং সম্প্রীতির ধারণার মূর্ত প্রতীক গোল্ডেন অনুপাতকে অধ্যয়ন এবং প্রয়োগের জন্য ঐশ্বরিক করে তোলে।
ফিবোনাচি ক্রমের সাথে গোল্ডেন অনুপাতের ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক এটিকে বিশ্লেষণ এবং প্রাকৃতিক রূপ ও ঘটনা বোঝার জন্য অনন্য টুল করে তোলে। ফিবোনাচি সংখ্যাগুলি বিভিন্ন বৈজ্ঞানিক ক্ষেত্রের বহু পরিপ্রেক্ষিতে দেখা যায়, গাছে পাতা এবং ফুলের বিন্যাস থেকে ছায়াপথের গঠন পর্যন্ত। সঙ্গীতেও, কিছু সুরকার তাদের কাজের গঠনকে সুরের দৈর্ঘ্যকে বা সম্প্রীতির সেগমেন্টগুলিকে ফিবোনাচি সংখ্যাগুলি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করেছেন।
জীববিজ্ঞানে, এই সংখ্যাগুলি পাতা, শাখা, এবং এমনকি ফুলের বীজের বিন্যাসকে বর্ণনা করে, যা সূর্যালোক এবং অন্যান্য সম্পদের এক্সপোজার সর্বাধিক করতে সাহায্য করে। এই ক্ষেত্রে, সূর্যমূখী ফুলের ক্ষেত্রে, একটি নির্দিষ্ট দিকে বীজের সংখ্যা এবং তার বিপরীত দিকে থাকা বীজের সংখ্যা প্রায়শই ফিবোনাচি সংখ্যাগুলি দ্বারা বর্ণনা করা হয়। ঠিক খরগোশের রিপ্রোডাকশন সমস্যার মতোই, এই ক্রম বিভিন্ন জৈবিক প্রজাতির মধ্যে বাস্তবসম্মত জনসংখ্যা বৃদ্ধির পরিস্থিতির মডেল গঠন করতে পারে।
কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানে, ফিবোনাচির সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ ক্রম কোয়াসিক্রিস্টাল এবং অন্যান্য জটিল গঠনগুলির নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলির বর্ণনা দেয়। কিছু রাসায়নিক যৌগের অণুতে পরমাণুর বিন্যাস ফিবোনাচি অনুসরণ করে, যা তাদের প্রাকৃতিক এবং রাসায়নিক বৈশিষ্ট্যর উপর প্রভাব ফেলে। প্রোগ্রামিং-এর ক্ষেত্রে, ফিবোনাচি ক্রম রকার্সিভ এবং ইটারেটিভ অ্যালগরিদম শেখানোর জন্য বিস্তৃতভাবে ব্যবহৃত হয়। এটি কিছু কিছু আর্টিফিসিয়াল ইন্টালিজেন্স-এ শেখার প্রক্রিয়া এবং প্যাটার্নের স্বীকৃতি অপ্টিমাইজ করার জন্য প্রয়োগ করা হয়ে থাকে। এটি অপ্টিমাইজেশন তত্ত্ব এবং দক্ষ অ্যালগরিদমগুলি তৈরি করতেও ব্যবহৃত হয়, যার মধ্যে রয়েছে সমস্যার জটিলতার মূল্যায়ণ, ডেটাবেসের প্রশ্নগুলি অপ্টিমাইজ করা, এবং সিস্টেমের কার্যক্ষমতা উন্নত করা।
মনোবিজ্ঞানে গবেষণা প্রদর্শন করে যে মানুষজন ফিবোনাচি ক্রমের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ নীতি স্বজ্ঞাতভাবে ব্যবহার করে থাকেন যখন অনিশ্চয়তার অধীনে কোনো সিদ্ধান্ত নেয়, উদাহরনস্বরূপ, সম্ভাবতা মূল্যায়ণ করার সময়। এই ঘটনার প্রয়োগ দেখা যায় অর্থনৈতিক বাজারের ট্রেডিং-এ, যা যেকোনো গণিত এবং বাজারের অন্তর্দৃষ্টিকে একত্রিত করে, এই সমন্ধে বিশদে অন্য একটি আর্টিকেলে বর্ণনা করা হবে।
